گام به گام آمار و احتمال فصل دو ص55

خلاصه درس:

در مسائلی که در آنها با عدم قطعیت و احتمال سر و کار داریم، گاهی با سؤا لهایی شرطی مواجه هستیم اگر فردا برف ببارد،

چقدر احتمال دارد راه برخی روستاهای دهستان های شهرستان کنگاور مسدود شودر راننده ای از کمربند ایمنی استفاده نکند،

چقدر احتمال دارد پس از  تصادف، دچار نقص عضو شوداگر دانش آموزی در سال یازدهم موفق به کسب معدل بالای 18شود،

چقدر احتمال دارد که در سال گذشته معدلش زیر 15 بوده باشد

در همهٔ این موارد با دو پیشامد مختلف سر و کار داریم و فرض می کنیم یکی از آنها رخ داده است و

می خواهیم بدانیم احتمال رخ دادن دومی چه تغییری کرده است.

احتمال شرطی:

فرض کنید پیشامد B با احتمال مثبت رخ داده است. احتمال پیشامد A به شرط B را به صورت $$P\left(A|B\right)$$ می‌نویسیم و می‌خوانیم احتمال A به شرط B. این احتمال به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$P\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)};P\left(B\right)>\mathrm{0و}$$

با توجه به این تعریف، اگر P(B)=0، احتمال شرطی تعریف نشده است.

همانطور که در تصویر دیده می‌شود، به نظر می‌رسد، با اطلاع از وقوع پیشامد B، فضای نمونه از S به B تقلیل پیدا کرده است و احتمال پیشامد A باید براساس فضای نمونه جدید محاسبه شود.

می‌توان نشان داد که احتمال شرطی نیز یک تابع احتمال است. یعنی در اصول تابع احتمال که توسط کولموگروف معرفی شد، صدق می‌کند. گفتنی است که اصول احتمال در مطلب آزمایش تصادفی، پیشامد و تابع احتمال معرفی شده‌اند.

برای نشان دادن موضوع یاد شده این اصول را برای احتمال شرطی بررسی می‌کنیم:

اصل اول– احتمال شرطی نامنفی است. بنا به تعریف احتمال شرطی، مشخص است که در رابطه ذکر شده، مخرج نامنفی و صورت نیز نامنفی است. در نتیجه نسبت این دو قسمت نیز نامنفی خواهد بود.