گام به گام آمار و احتمال فصل یک ص38

دوستان در این نوشته ،گام به گام آمار و احتمال فصل یک ص38 

( حل تمرین ص38 کتاب درسی آمار واحتمال )براتون قرار دادم.

پس از مطالعه این نوشته به مطالب زیر مسلط می شوید:

1-تعریف ضرب دکارتی بین دو مجموعه

2-محاسبه ضرب دکارتی هر مجموعه با مجموعه تهی

خلاصه درس:

تعریف زوج مرتب:

قبلاً با تعریف زوج مرتب آشنا شده اید و می دانید که هر دو شیئی مانندxوyتشکیل یک زوج می دهند که

اگر برای آنهاترتیب قائل باشیم، به آن یک زوج مرتب گفته می شودو با نماد(x,y)نشان می دهیمو البته می دانیم که

(z,t)=(x,y)اگر وتنها اگرx=zوy=t

ضرب دکارتی بین دو مجموعه

اگر AوBدو مجموعهٔ دلخواه باشند،A*Bمجموعه ای است که بهصورت زیر تعریف می شود:

​\( A \times B = \left\{ {\left. {(x,y)} \right|x \in A \wedge y \in B} \right\} \)​

در تعریف بالا توجه دارید که در هر(x,y)متعلق بهA*Bهمواره مؤلفه یا مختصِ اوّل یعنی xباید از مجموعهٔAو

متناظراًمؤلفهٔ دوم، یعنی yباید از مجموعهٔBباشد.

عمل ضرب دکارتی بین دو مجموعهAوBاین امکان را برای ما فراهم می سازد تا مجموعهٔ جدیدی بسازیم که

اعضای آن هر کدامیک زوج مرتب باشند و هر یک از این زوج های مرتب از اعضایAوBساخته می شوند.

بنابراین، مجموعهٔ حاصل دارای اعضایی ازجنس زوج مرتب بوده و

به اعضایAیاBشبیه نبوده و فقط اعضایAوBدرر ساختن آنها نقش دارند.

البته ارتباط بین اعضای این مجموعه و مجموعه‌های A و B را می‌توان به صورت جدول زیر نیز نشان داد.

در نظریه مجموعه‌ها، ضرب دکارتی از اهمیت خاصی برخوردار است. زیرا مفاهیم دیگر مثل رابطه و تابع براساس آن بنا نهاده شده‌اند. البته به عنوان تعمیم ضرب دکارتی دو مجموعه، می‌توان از ضرب دکارتی n مجموعه نیز صحبت کرد. مطالعات «رنه دکارت» (Rene Descartes) فیلسوف و دانشمند بزرگ فرانسوی در زمینه مجموعه‌ها در قرن ۱۵ میلادی،‌ موجب به وجود آمدن مفهوم جدیدی در ریاضیات به نام

ضرب مجموعه‌‌ها گردید. به همین دلیل این مفهوم به نام ضرب دکارتی یا ضرب کارتزین معرف است.

البته بعدها این مفهوم گسترش پیدا کرد و در هندسه تحلیلی به کار رفت.