گام به گام حسابان یک فصل دو ص ۵۹

دوستان در این نوشته ،گام به گام حسابان یک فصل دو ص 59

( حل  کاردرکلاس  ص59 کتاب درسی حسابان یک )براتون قرار دادم.

پس از مطالعه این نوشته به مطالب زیر مسلط می شوید:

1-تعیین دامنه وبرد تابع 

2- رسم نمودار تابع و وارون آن

خلاصه درس:

تعریف وارون تابع:

اگر رابطهٔ بین دو مجموعه به صورت زوج های مرتب داده شده باشد، رابطه ای را که از جابه جایی
دو مؤلفه هر زوج مرتب رابطه به دست می آید وارونِ آن رابطه می نامیم.اگر fیک تابع باشد ​\( {f^{ – 1}} \)​نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم :​\( {f^{ – 1}} = \left\{ {(y,x)\left| {(x,y) \in f} \right.} \right\} \)​

اگرfیک تابع باشدآن گاه f را وارون پذیر(معکوس پذیر) و​\( {f^{ – 1}} \)​را تابع وارون fمی نامیم.

بدست آوردن معکوس تابع:

برای بدست آوردن معکوس یک تابع، در ابتدا به جای ضابطه‌ی (f(x تابع y قرار دهید، سپس معادله را به نحوی حل کنید که x بر حسب y بدست آید. سپس به‌ جای x عبارت ​\( {f^{ – 1}}(x) \)​ را قرار دهید. در نتیجه برای بدست آوردن معکوس یک تابع به ترتیب زیر عمل کنید.

1. در تابع به جای (f(x، عبارت y را قرار دهید.

2. معادله بدست آمده در قدم اول را بر حسب y حل کنید.

3. در رابطه بدست آمده در قدم دوم، به جای x، ​\( {f^{ – 1}}(y) \)​قرار دهید.

4. \( {f^{ – 1}}(y) \) بدست آمده، معکوس تابع $$y=f\left(x\right)$$ است.

مثال:

معکوس تابع $$f\left(x\right)=2x+3$$ را بیابید.

۱. در قدم اول به جای $$f\left(x\right)$$، y قرار داده و به عبارت زیر می‌رسیم.

۲. عبارت بدست آمده در قدم اول بر حسب y حل شده و به رابطه زیر دست می‌یابیم.

۳. حال اگر به جای x عبارت ​\( {f^{ – 1}}(y) \)​قرار داده شود، تابع معکوس به صورت زیر بدست می‌آید.

تابع یک به یک:

اگر تابعی وارون پذیر باشدآن را یک به یک نامیم. به عبارت دیگر ، 

به تابعی که در آن هر خروجی ناشی از فقط یک ورودی باشد، یک به یک گفته می‌شود.

در حقیقت برای بوجود آوردن تابعی یک به یک، نمی‌توان از دو یا چند عضو از A به سمت یک B، برداری رسم کرد.

در ادامه دو تابع یک به یک و غیر یک به یک نشان داده شده‌اند.

همان‌گونه که مشاهده می‌کنید در تابع سمت چپ دو عضو از مجموعه A به یک عضو از B مرتبط شده‌اند،

بنابراین نمی‌تواند یک به یک باشد. از طرفی در تصویر سمت راست، هر عضو از B،

تنها یک بار انتخاب شده، بنابراین تابع یک به یک است.

تشخیص یک به یک بودن تابع با استفاده از نمودار آن:

به طور کلی می توان گفت که یک تابع در صورتی یک به یک است که هر خط موازی محور xها،نمودار آن راحداکثر در یک نقطه قطع کند.

رسم تابع یک به یک:

اگر fیک تابع یک به یک باشد، برای به دست آوردن نمودار تابع وارون آن کافی است

قرینهٔ fرا نسبت به خط y=x(نیمساز ربع اول وسوم)به دست آوریم.