گام به گام حسابان یک فصل یک ص ۳۱

گام به گام حسابان یک فصل یک ص 31

دوستان در این نوشته ،گام به گام حسابان یک فصل یک ص 31

( حل  کاردرکلاس ص 31 کتاب درسی حسابان یک )براتون قرار دادم.

پس از مطالعه این نوشته به مطالب زیر مسلط می شوید:

محاسبه طول یک پاره خط با داشتن مختصات دو سر آن

 

جواب:اگر نقطه ای روی عمود منصف باشد فاصله این نقطه از دو سر پاره خط به یک اندازه است.

خلاصه درس:

فاصله بین دو نقطه:

گام به گام حسابان یک فصل یک ص 29

شکل 1

همانطور که در شکل زیر نشان داده شده، ما می‌توانیم خطوطی را بین نقاط A و B طوری رسم کنیم که یک مثلث قائم الزاویه شکل بگیرد.

 

گام به گام حسابان یک فصل یک ص 29

شکل 2

با توجه به شکل بالا می‌توان رابطه فیثاغورس را بین سه ضلع مثلث نوشت. این رابطه به شکل زیر بیان می‌شود و ارتباطی را بین سه ضلع مثلث قائم الزاویه ایجاد می‌کند.

رابطه فیثاغورس

بنابراین با توجه به رابطه بالا، ایده اصلی یافتن فاصله بین دو نقطه یعنی فاصله c را متوجه شدیم. این ایده همان قضیه فیثاغورس است که در مثلثات و ریاضیات به صورت کامل مورد بررسی قرار گرفته است. همانطور که اشاره شد، برای یافتن فاصله بین دو نقطه نیاز به دانستن مختصات آن دو نقطه است. بنابراین در ادامه مختصات نقاط A و B را به شکل زیر مشخص می‌کنیم.

 
گام به گام حسابان یک فصل یک ص 29

شکل 3

در شکل بالا، مختصات x نقطه A، با نماد xA و مختصات y آن نقطه با نماد yA نمایش داده شده است. همچنین

مختصات نقطه B در راستای x و y به ترتیب با نماد xB و yB مشخص می‌شوند.

توجه کنید که این نام گذاری یک نام گذاری رایج است و در اکثر مسائل ریاضی و هندسه

از همین مدل نام‌گذاری برای نمایش مختصات نقاط مختلف استفاده می‌شود.

بنابراین با توجه به شکل بالا و توضیحاتی که داده شد، می‌توان نتیجه گرفت که فاصله A وB در شکل ۲ با استفاده از دو رابطه زیر محاسبه می‌شوند.

دقت کنید که a فاصله افقی را نشان می‌دهد و با استفاده از مختصات در راستای x قابل محاسبه است و b نیز فاصله عمودی را نشان می‌دهد و با استفاده از مختصات در راستای y به دست می‌آید.

در ادامه به محاسبه فاصله c که در شکل 2 نشان داده شده با استفاده از مختصات نقاط A و B می‌پردازیم. توجه کنید که فاصله c همان فاصله بین دو نقطه را نمایش می‌دهد و برابر با طول پاره خطی است که دو نقطه A و B دو سمت این پاره خط هستند. بنابراین در ابتدا رابطه فیثاغورس را به شکل زیر دوباره بیان می‌کنیم.

 

رابطه فیثاغورس

در قدم بعدی، مقادیر a و b که در قسمت قبل محاسبه شد را در رابطه بالا قرار می‌دهیم. بنابراین رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید.

در ادامه برای به دست آوردن فاصله بین دو نقطه A و B که با نماد c نشان داده شده، کافی است که از طرفین رابطه بالا جذر بگیریم. بنابراین داریم:

رابطه بالا به صورت کلی برای محاسبه فاصله بین دو نقطه با مختصات معلوم، استفاده می‌شود. در ادامه به کمک چند مثال، کاربرد رابطه بالا را برای حل مسائل مختلف مورد ارزیابی قرار می‌دهیم.

مثال 1

فاصله بین نقاط A و B در شکل زیر را بیابید.

فاصله بین دو نقطه

شکل ۴

توجه کنید که در این مثال قرار است فاصله بین دو نقطه A و B محاسبه شود و این طول برابر با طول پاره خط AB نیز در نظر گرفته می‌شود. در بخش قبل بیان شد که فاصله بین دو نقطه دلخواه A و B با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.

فاصله بین دو نقطه

محاسبه طول پاره خط باداشتن مختصات دو سر آن:

به طور کلی، اگر در صفحه مختصات دو نقطهٔ​\( A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2}) \)​را داشته باشیم، طول پاره خطABبرابر است با:

\( AB = \sqrt {{{({x_2} – {x_1})}^2} + {{({y_2} – {y_1})}^2}} \)

 

صفحه 29 گام به گام حسابان یک فصل یک درس پنج صفحه30

کتاب درسی حسابان یک

 

مطالب مرتبط با موضوع:
گام به گام حسابان یک فصل یک ص 14

مطالعه بیشتر