گام به گام حسابان یک فصل یک ص ۳۵

خلاصه درس:

فاصله بین دو نقطه:

شکل 1

همانطور که در شکل زیر نشان داده شده، ما می‌توانیم خطوطی را بین نقاط A و B طوری رسم کنیم که یک مثلث قائم الزاویه شکل بگیرد.

شکل 2

با توجه به شکل بالا می‌توان رابطه فیثاغورس را بین سه ضلع مثلث نوشت. این رابطه به شکل زیر بیان می‌شود و ارتباطی را بین سه ضلع مثلث قائم الزاویه ایجاد می‌کند.

بنابراین با توجه به رابطه بالا، ایده اصلی یافتن فاصله بین دو نقطه یعنی فاصله c را متوجه شدیم. این ایده همان قضیه فیثاغورس است که در مثلثات و ریاضیات به صورت کامل مورد بررسی قرار گرفته است. همانطور که اشاره شد، برای یافتن فاصله بین دو نقطه نیاز به دانستن مختصات آن دو نقطه است. بنابراین در ادامه مختصات نقاط A و B را به شکل زیر مشخص می‌کنیم.

شکل 3

در شکل بالا، مختصات x نقطه A، با نماد x_A و مختصات y آن نقطه با نماد y_A نمایش داده شده است. همچنین

مختصات نقطه B در راستای x و y به ترتیب با نماد x_B و y_B مشخص می‌شوند.

توجه کنید که این نام گذاری یک نام گذاری رایج است و در اکثر مسائل ریاضی و هندسه

از همین مدل نام‌گذاری برای نمایش مختصات نقاط مختلف استفاده می‌شود.

بنابراین با توجه به شکل بالا و توضیحاتی که داده شد، می‌توان نتیجه گرفت که فاصله A وB در شکل ۲ با استفاده از دو رابطه زیر محاسبه می‌شوند.

$$a=(x_A–x_B)$$

$$b=(y_A–y_B)$$

دقت کنید که a فاصله افقی را نشان می‌دهد و با استفاده از مختصات در راستای x قابل محاسبه است و b نیز فاصله عمودی را نشان می‌دهد و با استفاده از مختصات در راستای y به دست می‌آید.

در ادامه به محاسبه فاصله c که در شکل 2 نشان داده شده با استفاده از مختصات نقاط A و B می‌پردازیم. توجه کنید که فاصله c همان فاصله بین دو نقطه را نمایش می‌دهد و برابر با طول پاره خطی است که دو نقطه A و B دو سمت این پاره خط هستند. بنابراین در ابتدا رابطه فیثاغورس را به شکل زیر دوباره بیان می‌کنیم.

در قدم بعدی، مقادیر a و b که در قسمت قبل محاسبه شد را در رابطه بالا قرار می‌دهیم. بنابراین رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید.

در ادامه برای به دست آوردن فاصله بین دو نقطه A و B که با نماد c نشان داده شده، کافی است که از طرفین رابطه بالا جذر بگیریم. بنابراین داریم:

رابطه بالا به صورت کلی برای محاسبه فاصله بین دو نقطه با مختصات معلوم، استفاده می‌شود. در ادامه به کمک چند مثال، کاربرد رابطه بالا را برای حل مسائل مختلف مورد ارزیابی قرار می‌دهیم.

مثال 1

فاصله بین نقاط A و B در شکل زیر را بیابید.

شکل ۴

توجه کنید که در این مثال قرار است فاصله بین دو نقطه A و B محاسبه شود و این طول برابر با طول پاره خط AB نیز در نظر گرفته می‌شود. در بخش قبل بیان شد که فاصله بین دو نقطه دلخواه A و B با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.

محاسبه طول پاره خط باداشتن مختصات دو سر آن:

به طور کلی، اگر در صفحه مختصات دو نقطهٔ​\( A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2}) \)​را داشته باشیم، طول پاره خطABبرابر است با:

​\( AB = \sqrt {{{({x_2} – {x_1})}^2} + {{({y_2} – {y_1})}^2}} \)​

عمود منصف پاره خط:

عمودمنصف یک پاره خط شامل همه نقاطی است که فاصله آنها از دو سر پاره خط به یک اندازه است.

شرط عمود بودن دو خط بر هم:

اگر خطوط dو​\( {d’} \)​به ترتیب با شیب های mو​\( {m’} \)​بر هم عمودباشند آنگاه​\( mm’ = 1 \)​وبرعکس

فاصله یک نقطه از یک خط:

اگر خط dو نقطهAدر خارج آن داده شده باشد، فاصله نقطهAاز خط dرا همان کوتاه ترین فاصلهAاز dتعریف می کنندبا توجه بهآنکه طول عمود از طول مایل کوتاه تر است

این فاصله را عمود AH در نظر می گیریم.بنابراین برای به دست آوردن فاصله هر نقطه از خط کافی است از آن
نقطه بر خط عمودی رسم و طول پاره خط عمود شده را اندازه گیریکنیم.

فرمول فاصله نقطه از خط:

فاصلهٔ نقطهٔ​\( A({x_0},{y_0}) \)​از خط ​\( ax + by + c = 0 \)​که همان طول خط AHمی باشد عبارتست از:

​\( AH = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)​