دایره مثلثاتی، به دایره‌ای به شعاع واحد گفته می‌شود. با استفاده از این دایره‌ی به سادگی

می‌توان نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) را به سادگی بدست آورد.

هم‌چنین با استفاده از مفهوم دایره‌ی مثلثاتی می‌توان طول‌ها و زوایا را در اشکال هندسی بدست آورد.

 

محاسبه سینوس، کسینوس و تانژانت

در ابتدا مطابق با شکل زیر دایره‌ای به قطر واحد را در نظر بگیرید.

گام به گام ریاضی یک فصل دو ص 36

با توجه به این که شعاع دایره برابر با ۱ است، می‌توان نسبت‌های مثلثاتی را به صورت مستقیم بدست آورد.

فرض کنید می‌خواهیم نسبت‌های مثلثاتی را در زاویه‌ای خاص بدست آوریم. در این صورت

نقطه‌ی روی دایره را در زاویه مذکور قرار داده و از آن به مرکزِ دایره خطی رسم می‌کنیم.

بدیهی است که طول این خط برابر با ۱ است. در نتیجه ارتفاع نقطه تا محور افقی

برابر با سینوس و طول افقی نقطه تا مرکزِ دایره، اندازه کسینوس زاویه‌ی مذکور را نشان می‌دهد.

اگر در زاویه مذکور خطی به دایره مماس شود، طول آن نشان دهنده اندازه تانژانت زاویه است.

 

در شکل زیر دایره مثلثاتی، اندازه سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه θ نشان داده شده‌اند.

گام به گام ریاضی یک فصل دو ص 36

در شکل فوق طولِ خط قرمز رنگ، نشان دهنده سینوس، طول خط زرد رنگ،

نشان دهنده کسینوس و خط آبی رنگ،‌ برابر با اندازه تانژانت است.

برای نمونه احتمالا می‌دانید که سینوس زاویه‌ی صفر درجه برابر با صفر است (sin 0=0).

حال می‌خواهیم با استفاده از دایره‌ی مثلثاتی، همین عدد را بدست آوریم.

زاویه صفر درجه به این معنی است که نقطه دقیقا روی محور افقی قرار داشته باشد.

گام به گام ریاضی یک فصل دو ص 36

 

همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید فاصله عمودی نقطه تا محور افقی (یا همان ارتفاع نقطه)

برابر با صفر است. بنابراین sin 0=0 نتیجه می‌شود.

از طرفی فاصله نقطه تا محور عمودی برابر با شعاع دایره است.

بنابراین از شکل فوق نتیجه می‌شود:sin (0) =cos (0) =1 

زوایای مهم

محاسبات مربوط به مثلثات، زوایای پرکاربردی وجود دارند که در مسائل بسیار تکرار می‌شوند. در جدول زیر این زوایا به همراه مقادیر مثلثاتی آن‌ها ارائه شده است.

unit-circle