گام به گام ریاضی یک فصل دو ص 43 واتحادهای مثلثاتی

گام به گام ریاضی یک فصل دو ص 43

دوستان در این نوشته ،گام به گام ریاضی یک فصل دو ص 43

( حل کاردرکلاس ص43کتاب درسی ریاضی یک)براتون قرار دادم.

مطالعه این نوشته به مطالب زیر مسلط می شوید:

1-روابط بین نسبت های مثلثاتی

2-اتحاد های مثلثاتی

جواب:$ \sin \alpha = \pm \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $

جواب:$ \cos \alpha = \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $

روابط بین نسبت های مثلثاتی:

برای محاسبه ی sin و cos یک زاویه انتهای کمان را بر محور Sin و یا cos عمود می کنیم,ولی

برای محاسبه ی tg و یا cotg یک زاویه انتهای کمان را امتداد داده تا محور tgو یا cotg را قطع کند.

اگر x زاویه ای در ناحیه ی اول باشد,در ناحیه ی اول تمام نسبت های مثلثاتی مثبت است.

اگر x در ناحیه ی دوم باشد فقط سینوس sin مثبت است.

اگر x در ناحیه ی سوم باشد در ناحیه ی سوم سینوس sin و cos منفی و تانژانت tg و کتانژانت cotg مثبت است.

اگر x در ناحیه ی چهارم باشد,در ناحیه ی چهارم فقط cos مثبت است.

روابط حاصل از تعریف توابع مثلثاتی

طبق تعریف توابع مثلثاتی روابط زیر را داریم:

$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

$cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

$sec(x) = \frac{1}{cos(x)}$

$csc(x) = \frac{1}{sin(x)}$

رابطه فیثاغورث برای توابع مثلثاتی

از آنجا که توابع مثلثاتی همگی بر روی مثلث قائم‌الزاویه تعریف می‌شوند، با استفاده از رابطه فیثاغورث می‌توان ثابت کرد که روابط زیر بین آنها برقرار است:

$sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1$

بلافاصله از این رابطه، دو رابطه زیر به دست می‌آیند.

$sin(x) = \pm \sqrt{1-cos^{2}(x)}$

$cos(x) = \pm \sqrt{1-sin^{2}(x)}$

اگر تعریف تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت را در کنار رابطه فیثاغورثی در نظر بگیریم، روابط زیر به دست می‌آیند:

$1+tan^{2}(x) = sec^{2}(x)$

$1+cot^{2}(x)=csc^{2}(x)$

تبدیل هر تابع مثلثاتی به هر تابع مثلثاتی دیگر

با استفاده از روابط فیثاغورث و روابط حاصل از تعریف توابع مثلثاتی، می‌توان جدول زیر را به دست آورد. در این جدول هر تابع مثلثاتی بر اساس سایر توابع نوشته شده است. مثبت یا منفی بودن علامت در عبارات زیر بستگی این دارد که x در چه ربعی قرار بگیرد.

$cot(x)$	$sec(x)$	$csc(x)$	$tan(x)$	$cos(x)$	$sin(x)$
$\pm{\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x) }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(x) -1}}{\sec (x) }}$	$\frac{1}{csc(x)}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x) }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x) }}$	$sin(x)$	$sin(x) =$
$\pm {\frac {\cot (x) }{\sqrt {1+\cot ^{2}(x) }}}\!$	${\frac {1}{\sec (x) }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}(x) -1}}{\csc (x) }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x) }}}\!$	$cos(x)$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x) }}\!$	$cos(x) =$
${\frac {1}{\cot (x) }}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}(x) -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}(x) -1}}}\!$	$tan(x)$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(x) }}{\cos (x) }}\!$	$\pm {\frac {\sin (x) }{\sqrt {1-\sin ^{2}(x) }}}\!$	$tan(x) =$
$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}(x) }}$	$\pm {\frac {\sec (x) }{\sqrt {\sec ^{2}(x) -1}}}\!$	$csc(x)$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}(x) }}{\tan (x) }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x) }}}$	$\frac {1}{\sin (x) }\frac {1}{\sin (x) }$	$csc(x)=$
$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}(x) }}{\cot (x) }}\!$	$sec(x)$	$\pm {\frac {\csc (x) }{\sqrt {\csc ^{2}(x) -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}(x) }}\!$	$\frac {1}{\cos (x) }$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x) }}}\!$	$sec(x) =$
$cot(x)$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}(x) -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}(x) -1}}\!$	$\frac {1}{\tan (x) }$	$\pm {\frac {\cos (x) }{\sqrt {1-\cos ^{2}(x) }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(x) }}{\sin (x) }}\!$	$cot(x) =$