گام به گام ریاضی یک فصل سه ص63

تجزیه یک کسر، کاربرد زیادی در محاسبه انتگرال دارد.

همچنین برای تجزیه کسر، باید مخرج آن را به صورت

حاصل ضرب چند عبارت در یکدیگر بنویسیم. این عمل

به کمک روابط و روش‌های ارائه شد در مبحث اتحاد و

تجزیه انجام می‌شود.

در ادامه لیستی از اتحادهای رایج در ریاضیات بیان

می‌شوند. با استفاده از این اتحاد‌ها می‌توان تجزیه

عبارات مختلف را به خوبی انجام داد. توجه کنید که

مبحث اتحاد و تجزیه کاربرد بسیار زیادی در 

تجزیه کسرها و محاسبه انتگرال به کمک کسرهای

جزئی نیز دارد.

نکته دیگری که می‌توان به آن اشاره کرد این است که

با استفاده از این اتحاد‌ها، بسیاری از معادلات مختلف

در ریاضیات را می‌توانیم به شکل راحت‌تری مورد مطالعه

قرار دهیم. در واقع پاسخ یک معادله به کمک اتحادهای

زیر به سرعت قابل محاسبه است.

اتحاد مربع دو جمله‌ای

این اتحاد را می‌توان به عنوان شکل دیگری از معادله درجه

دو بیان کرد. در واقع عبارت $$(a-b{)}^2$$ را می‌توان به

صورت حاصل ضرب $$(a-b)$$ در خودش نوشت. بنابراین

اتحاد مربع دو جمله‌ای زمانی

که $$(a-b{)}^2$$ و $$(a+b{)}^2$$ داشته باشیم

را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

(a+b)²=a²+b²+2ab

(a−b)²=a²+b²−2ab

 

اتحاد مربع سه جمله‌ای

اتحاد مربع دو جمله‌ای، حالتی را نشان می‌داد که

مجموع یا تفاضل دو جمله a و b، به توان دو رسیده باشند

. بنابراین به صورت مشابه می‌توان اتحاد مربع سه جمله‌ای

را مورد بررسی قرار داد. اتحاد مربع سه جمله‌ای، حالتی

را نشان می‌دهد که مجموع سه جمله b ،a و c به توان دو

رسیده باشد. فرمول این اتحاد در رابطه زیر نشان داده شده است.

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

توجه کنید که حالت منفی عبارت فوق یعنی ²(a+b-c)

کاربرد زیادی در مسائل ندارد ولی پیشنهاد می‌شود،

این عبارت یعنی ²(a+b-c) را به عنوان تمرین محاسبه کنید.

اتحاد مکعب دو جمله‌ای

اتحاد پرکاربرد دیگر در ریاضیات، اتحاد مکعب دو جمله‌ای است.

این اتحاد، مجموع یا تفاضل دو عبارت a و b را به توان سه

می‌رساند. کاربرد زیاد این اتحاد در مباحث مرتبط با اتحاد و تجزیه

باعث شده است که بتوانیم آن را به شکل زیر و به عنوان یکی

از اتحادهای رایج بیان کنیم.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

توجه کنید که به رابطه اول، مکعب مجموع دو جمله‌ای و

به رابطه دوم مکعب تفاضل دو جمله‌ای نیز می‌گویند.

اتحاد چاق و لاغر

اتحاد چاق و لاغر از یک جمله کوچک (لاغر) و یک جمله

بزرگ (چاق) تشکیل شده است. برای نوشتن این اتحاد،

لازم است که به علامت عبارات مختلف دقت کنید.