گام به گام ریاضی یک فصل یک ص 25

دنباله چیست؟

به رشته ای از اعداد که پشت سر هم نوشته می شوند، دنباله عددی گفته می‌شود. به هر کدام از اعداد این دنباله، یک جمله گفته می‌شود. اعداد و یا به عبارتی جملات یک دنباله ممکن است با هم ارتباط داشته باشند یا نداشته باشند. اولین جمله دنباله را با a1 و دومی را با a2 و در نهایت جمله n-اُم را با an نشان می دهیم که n شماره جمله دنباله است و همواره یک عدد طبیعی است. اگر بین جملات دنباله رابطه‌ای واجود داشته باشد، به این رابطه الگوی دنباله گفته می‌شود. بنابراین الگوی دنباله، رابطه‌ای است بین شماره جملات (1,2,3,4,.. ) و جملات (…, a1 ,a2). به فرم کلی این الگو، جمله عمومی میگویند و با نماد (an) نشان داده می‌شود.

دنباله هندسی

در یک دنباله هندسی هر جمله به وسیله ضرب یک عدد ثابت در عدد قبلی به دست می آید.

مثال:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

دنباله فوق، مضربی از 2 بین هر عدد دارد. هر جمله، به جز جمله اول به وسیله ضرب عدد قبلی در 2 به دست می‌آید. به طور کلی ما یک دنباله هندسی را به این شکل می‌نویسیم:

{a, ar, ar², ar³, …}

که:

• a اولین جمله است، و

• r مضرب بین جملات است که به نام «قدر نسبت» نامیده می‌شود.

مثال:

{ 1, 2, 4, 8, … }

دنباله از 1 شروع می شود و در هر مرحله دو برابر می شود، پس

• a = 1 اولین جمله است.

• r = 2 «قدر نسبت» بین جملات باعث دو برابر شدن جمله بعدی می شود.

و داریم:

{a, ar, ar², ar³, … }

= {1, 1×2, 1×2², 1×2³, … }

= {1, 2, 4, 8, …}

اما باید توجه داشته باشید که r نمی‌تواند 0 باشد:

• اگر r = 0 دنباله ما به شکل { … ,0 ,0 ,a} در می‌آیند که یک دنباله هندسی نیست.

  فرمول جمله عمومی در دنباله هندسی

  به الگوی کلی جملات یک دنباله، ضابطه آن دنباله گفته می‌شود. بنابراین از روی ضابطه یک دنباله می‌توان هر جمله آن را به دست آورد. فرمول یافتن جمله n-ام یک دنباله هندسی به صورت زیر است:

  X_n = ar^(n-1)

  دلیل این که از n-1 استفاده می‌کنیم، ابن است که ar⁰ برای جمله اول است.