انتخاب سردبیر رشته ریاضی قضیۀ کسینوس ها گام به گام پایه یازدهم گام به گام هندسه دو هندسه هندسه 2

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 66

by مدیر بهینه ساز سیستم۰۷ مرداد ۱۳۹۹۰۷ مرداد ۱۳۹۹۰165

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 66

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 66

دوستان در این نوشته ،گام به گام هندسه دو فصل سه ص 66

( فعالیت ص66 کتاب درسی هندسه دو )براتون قرار دادم.

پس از مطالعه این نوشته به مطالب زیر مسلط می شوید:

قضیه کسینوس ها

66

جواب)

جواب)

جواب)

جواب)

جواب)

خلاصه درس:

قضیه کسینوس ها:

در هر مثلث مربع اندازه هر ضلع برابر بامجموع مربع های دو ضلع دیگر،منهای دو برابر حاصلضرب آن دو ضلع درکسینوس زاویه بین آن ها

اثبات قضیه کسینوس ها:

در شکل زیر مثلث $ABC$ را می‌بینید که طول اضلاع آن $a$ ، $b$ ، و $c$ است. اندازه زاویه $C$ در این مثلث برابر $\theta$ است.

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

قانون کسینوس‌ها می‌گوید:

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}

قانون فیثاغورت در واقع حالت خاصی از قانون کسینوس‌ها (یا قانون کاشانی) است. قانون فیثاغورت فقط در مثلث‌های قائم‌الزاویه صادق است، در حالیکه می‌توانیم از قانون کسینوس‌ها در هر مثلثی استفاده کنیم. یعنی با استفاده از قانون کسینوس‌ها می‌توانیم با داشتن دو ضلع مثلث و زاویه بین‌شان، اندازه ضلع سوم مثلث را بدست بیاوریم. بنابر قانون کسینوس‌ها مربع ضلع سوم برابر است با مجموع مربع‌های دو ضلع دیگر منهای دوبرابر حاصلضرب دو ضلع در کسینوس زاویهٔ بین‌شان. یعنی:

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}

رسیدن به قانون فیثاغورث از طریق قانون کسینوس‌ها

قانون فیثاغورث زمانی صادق است که مثلث قائم‌الزاویه باشد؛ یعنی $\theta =90^{\circ }$

همان‌طور که میدانید کسینوس زاویه نود درجه صفر است. یعنی: $cos(\theta )=cos(90^{\circ })=0$

بنابراین:

c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\times cos(90^{\circ })=a^{2}+b^{2}+2ab\times 0\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}

که این همان قانون فیثاغورث است.

تعمیم

قانون کسینوس‌های در مورد هر ضلع از هر نوع مثلثی صدق می‌کند و به این شکل است:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ),\,$

$\cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ .\,$

چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‌بینیم.

حالت زاویه باز:

در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‌ایم.

c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2}

c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}

c^{2}=b^{2}+2bd+a^{2},d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos(\gamma )

c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}

c^{2}=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}

c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}\sin ^{2}(\gamma ),cos^{2}(\gamma )+sin^{2}(\gamma )=1

c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}

گام به گام هندسه دو فصل سه درس دو

کتاب درسی هندسه دو

previous post

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 65

next post

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 67

مدیر بهینه ساز سیستم

نظرتو در مورد این مطلب بگو لغو پاسخ

این وب سایت از کوکی شما برای ارتقاع سرویس استفاده می کند . موافقت بیشتر بخوانید