گام به گام هندسه دو فصل سه ص 73 وقضیه هرون

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 73

دوستان در این نوشته ، گام به گام هندسه دو فصل سه ص 73

(پرسش متن صفحه73 کتاب درسی هندسه دو )براتون قرار دادم.

پس از مطالعه این نوشته به مطالب زیر مسلط می شوید:

قضیه هرون(محاسبه ارتفاع هاومساحت مثلث ها)

جواب)

در هندسه فرمول هرون (رابطه هرون) (به انگلیسی: Heron’s formula) فرمولی است که با استفاده از آن می‌توان

مساحت یک مثلث را بدون داشتن ارتفاع آن به دست آورد. نام آن از نام هرون اسکندرانی گرفته شده‌است.

این فرمول به صورت زیر بیان شده‌است:

S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 74

در اینجا،p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث و S نشانه مساحت مثلث می‌باشند.

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 74

فرمول هرون به روش‌های زیر نیز می‌تواند نوشته شود:

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 74

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 74

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 74

گام به گام هندسه دو فصل سه ص 74

با استفاده از جبر و قوانین نسبت‌های مثلثاتی می‌توان این فرمول را اثبات کرد.

این اثبات با اثباتی که هرون در کتابش (متریکا) در سال ۶۰ ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است.

مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می‌گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است.

طبق قانون کسینوس‌ها از قانونی از کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و

متغیرهای اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا می‌خواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث،

مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با:

مجموع مربعات دو ضلعی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر؛ ۲

برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو می‌باشد و به بیان ریاضی داریم:

ضمناً مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه

سینوس بر حسب مربع کسینوس بدست می‌آید (رابطه دومی که در زیر ملاحظه می‌کنید)

\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}}{2ab}.

مساحت مثلث را با T نشان می‌دهیم. در این روش از طریق رابطه سینوس و کشیدن

یک مثلث با یک ارتفاع و نوشتن رابطه مساحت مثلث

یعنی قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر ۲ و ادغام این‌ها باهم رابطه را نتیجه گرفته می شود که همان رابطه زیر است:

\begin{align} &T = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)} \\ & = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\ & = \sqrt{\frac{(c -(a -b))}{2}\frac{(c +(a -b))}{2}\frac{((a +b) -c)}{2}\frac{((a +b) +c)}{2}} \\ & = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\ & = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\ & = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}. \end{align}

وبلاگ